"Человек - самое уязвимое место в системе безопасности.."

Уравнения Дирака

Допустим то, что есть набор из 4 n x n матриц γμ, которые удовлетворяют антикоммутационное соотношение:

  • μ, γν} ≡ = γμ γν + γν γμ = 2gν μ x 1n x n (алгебра Дирака) (1)

Тогда можно представить n-мерное представление алгебры Лоренца следующего вида:

  • Sν μ = i/4 [γμ, γν] (2)

Такие вычисления можно реализовать в пространстве любого размера с евклидовой или лоренцевой метрикой. Важно, чтобы оно было верным в трехмерном евклидовом пространстве. Можно взять:

  • γj ≡ i σi (сигма-матрицы Паули)
  • так, что {γi, γj} = -2σi j

Знак ‘минус’ во второй строке и множитель ‘i’ в первой полностью условны. Матрицы, которые представляют алгебру Лоренца имеют вид:

  • Si j = 1/2 ε i j kσk

Теперь нужно обозначить матрицы Дирака γμ для четірехмерного пространства Минковского. Нужно, чтобы они были как минимум матрицами 4х4. Нету четвертой 2х2 матрицы, которая бы антикоммутировала с тремя сигма-матрицами Паули. Далее по статье все 4х4 представления алгебры Дирака унитарно эквивалентны. Значит, нужно выписать одну явную реализацию алгебры Дирака. Одно представление в виде 2х2 имеет вид показанный на рис.1.

представление Вейля

Такое представление имеет название Вейля или еще называют киральным представлением. Разные книги, авторы используют другие представления, которые являются диагональными. Представление указанное в этой статье имеет генератор буста который показан на рис.2.

Генератор буста

Генератор пространственных вращений показан на рис.3.

генератор пространственных вращений

Дираковский спинор — четырехкомпонентное поле φ, которое изменяется при бустах и вращениях согласно рис.2 и 3. Нужно отметить, что генератор вращений Si j являет собой точную трехмерную спинорную матрицу преобразования (3) взятую дважды.

Теперь можно найти полевое уравнение соответствующие закону преобразования для φ

  • 2 + m2)φ = 0 (7)

Такое уравнение подойдет, так как спинорные матрицы изменения (рис.2, 3) работают только во внутреннем пространстве, они коммутируют с дифференциальным оператором. Однако можно вывести более сильное уравнение первого порядка, которое включает уравнение (7). Для этого нужно задействовать еще один параметр γ-матриц:

  • μ, S = (g)μνγν
  • или эквивалентно
    (1 + i/2 φSμ (1 — i/2 φS)= (1 + i/2 φS)μνγν
  • Такое уравнение является инфинитезимальной формой соотношения:
    λ-11/2γμλ1/2 = λμνγν (8)
  • где
    λ1/2 = exp (-i/2 φμνSμν) (9)

В уравнении (9) видно, что γ-матрицы инвариантны относительно одновременного вращения по спинорным и векторным индексам. Уравнение Дирака имеет вид:

  • (i γμσμ — m)φ(x) = 0. (10)

Для того чтобы показать, что это уравнение лоренц-инвариантно, реализуем лоренцевское преобразование на его левую часть (рис.4).

Уравнение дирака лоренц-инвариантно

Реализуем воздействия в левой части уравнения оператором (-iγμσμ — m), чтобы увидеть, что уравнение Дирака происходит из уравнения Клейна-Гордона:

  • 0 = (-iγμσν — m)(-iγνσν — m) φ = (γμγνσμσν + m2)φ = (1/2{γμ, γν} σμσν + m2)φ = (σ2 + m2

Для записи лагранжиана для теории Дирака, нужно как минимум установить два дираковский спинора для определения лоренцевского скаляра. Однако предположение φφ — не подходит. Если бы матрица буста была бы унитарна при лоренцевском преобразовании φλ1/2λ1/2φ, то имели бы вид λ1/2 = λ-11/2. однако матрица λ1/2 неунитарна, потому что генераторы (рис.2) неэрмитовы. Решение заключается в том, чтобы определить:

  • φ‾ ≡ φγ0. (11)

При бесконечно малом уравнении Лоренца, параметризованном величинами φνμ, сумма по по ν и μ имеет 6 разных отличных от нуля слагаемых.

Уравнение Эйлера-Лагранжа для φ‾ (или φ) приводит к уравнению Дирака (10).