Уравнения Дирака
Допустим то, что есть набор из 4 n x n матриц γμ, которые удовлетворяют антикоммутационное соотношение:
- {γμ, γν} ≡ = γμ γν + γν γμ = 2gν μ x 1n x n (алгебра Дирака) (1)
Тогда можно представить n-мерное представление алгебры Лоренца следующего вида:
- Sν μ = i/4 [γμ, γν] (2)
Такие вычисления можно реализовать в пространстве любого размера с евклидовой или лоренцевой метрикой. Важно, чтобы оно было верным в трехмерном евклидовом пространстве. Можно взять:
- γj ≡ i σi (сигма-матрицы Паули)
- так, что {γi, γj} = -2σi j
Знак ‘минус’ во второй строке и множитель ‘i’ в первой полностью условны. Матрицы, которые представляют алгебру Лоренца имеют вид:
- Si j = 1/2 ε i j kσk
Теперь нужно обозначить матрицы Дирака γμ для четірехмерного пространства Минковского. Нужно, чтобы они были как минимум матрицами 4х4. Нету четвертой 2х2 матрицы, которая бы антикоммутировала с тремя сигма-матрицами Паули. Далее по статье все 4х4 представления алгебры Дирака унитарно эквивалентны. Значит, нужно выписать одну явную реализацию алгебры Дирака. Одно представление в виде 2х2 имеет вид показанный на рис.1.
Такое представление имеет название Вейля или еще называют киральным представлением. Разные книги, авторы используют другие представления, которые являются диагональными. Представление указанное в этой статье имеет генератор буста который показан на рис.2.
Генератор пространственных вращений показан на рис.3.
Дираковский спинор — четырехкомпонентное поле φ, которое изменяется при бустах и вращениях согласно рис.2 и 3. Нужно отметить, что генератор вращений Si j являет собой точную трехмерную спинорную матрицу преобразования (3) взятую дважды.
Теперь можно найти полевое уравнение соответствующие закону преобразования для φ
- (σ2 + m2)φ = 0 (7)
Такое уравнение подойдет, так как спинорные матрицы изменения (рис.2, 3) работают только во внутреннем пространстве, они коммутируют с дифференциальным оператором. Однако можно вывести более сильное уравнение первого порядка, которое включает уравнение (7). Для этого нужно задействовать еще один параметр γ-матриц:
- [γμ, Spσ = (gpσ)μνγν
- или эквивалентно
(1 + i/2 φpσSpσ)γμ (1 — i/2 φpσSpσ)= (1 + i/2 φpσSpσ)μνγν - Такое уравнение является инфинитезимальной формой соотношения:
λ-11/2γμλ1/2 = λμνγν (8) - где
λ1/2 = exp (-i/2 φμνSμν) (9)
В уравнении (9) видно, что γ-матрицы инвариантны относительно одновременного вращения по спинорным и векторным индексам. Уравнение Дирака имеет вид:
- (i γμσμ — m)φ(x) = 0. (10)
Для того чтобы показать, что это уравнение лоренц-инвариантно, реализуем лоренцевское преобразование на его левую часть (рис.4).
Реализуем воздействия в левой части уравнения оператором (-iγμσμ — m), чтобы увидеть, что уравнение Дирака происходит из уравнения Клейна-Гордона:
- 0 = (-iγμσν — m)(-iγνσν — m) φ = (γμγνσμσν + m2)φ = (1/2{γμ, γν} σμσν + m2)φ = (σ2 + m2)φ
Для записи лагранжиана для теории Дирака, нужно как минимум установить два дираковский спинора для определения лоренцевского скаляра. Однако предположение φ†φ — не подходит. Если бы матрица буста была бы унитарна при лоренцевском преобразовании φ†λ†1/2λ1/2φ, то имели бы вид λ†1/2 = λ-11/2. однако матрица λ1/2 неунитарна, потому что генераторы (рис.2) неэрмитовы. Решение заключается в том, чтобы определить:
- φ‾ ≡ φ†γ0. (11)
При бесконечно малом уравнении Лоренца, параметризованном величинами φνμ, сумма по по ν и μ имеет 6 разных отличных от нуля слагаемых.
Уравнение Эйлера-Лагранжа для φ‾ (или φ†) приводит к уравнению Дирака (10).