Уравнения Дирака

Допустим то, что есть набор из 4 n x n матриц γ^μ, которые удовлетворяют антикоммутационное соотношение:

• {γ^μ, γ^ν} ≡ = γ^μ γ^ν + γ^ν γ^μ = 2g^{ν μ} x 1_{n x n} (алгебра Дирака) (1)

Тогда можно представить n-мерное представление алгебры Лоренца следующего вида:

• S^{ν μ} = i/4 [γ^μ, γ^ν] (2)

Такие вычисления можно реализовать в пространстве любого размера с евклидовой или лоренцевой метрикой. Важно, чтобы оно было верным в трехмерном евклидовом пространстве. Можно взять:

• γ^j ≡ i σi (сигма-матрицы Паули)
• так, что {γⁱ, γ^j} = -2σ^{i j}

Знак ‘минус’ во второй строке и множитель ‘i’ в первой полностью условны. Матрицы, которые представляют алгебру Лоренца имеют вид:

• S^{i j} = 1/2 ε ^{i j k}σ^k

Теперь нужно обозначить матрицы Дирака γ^μ для четірехмерного пространства Минковского. Нужно, чтобы они были как минимум матрицами 4х4. Нету четвертой 2х2 матрицы, которая бы антикоммутировала с тремя сигма-матрицами Паули. Далее по статье все 4х4 представления алгебры Дирака унитарно эквивалентны. Значит, нужно выписать одну явную реализацию алгебры Дирака. Одно представление в виде 2х2 имеет вид показанный на рис.1.

Такое представление имеет название Вейля или еще называют киральным представлением. Разные книги, авторы используют другие представления, которые являются диагональными. Представление указанное в этой статье имеет генератор буста который показан на рис.2.

Генератор пространственных вращений показан на рис.3.

Дираковский спинор — четырехкомпонентное поле φ, которое изменяется при бустах и вращениях согласно рис.2 и 3. Нужно отметить, что генератор вращений S^{i j} являет собой точную трехмерную спинорную матрицу преобразования (3) взятую дважды.

Теперь можно найти полевое уравнение соответствующие закону преобразования для φ

• (σ² + m²)φ = 0 (7)

Такое уравнение подойдет, так как спинорные матрицы изменения (рис.2, 3) работают только во внутреннем пространстве, они коммутируют с дифференциальным оператором. Однако можно вывести более сильное уравнение первого порядка, которое включает уравнение (7). Для этого нужно задействовать еще один параметр γ-матриц:

• [γ^μ, S^pσ = (g^pσ)^μνγ^ν
• или эквивалентно
  (1 + i/2 φ_pσS^pσ)γ^μ (1 — i/2 φ_pσS^pσ)= (1 + i/2 φ_pσS^pσ)^μνγ^ν
• Такое уравнение является инфинитезимальной формой соотношения:
  λ^-1_1/2γ^μλ_1/2 = λ^μνγ^ν (8)
• где
  λ_1/2 = exp (-i/2 φ_μνS^μν) (9)

В уравнении (9) видно, что γ-матрицы инвариантны относительно одновременного вращения по спинорным и векторным индексам. Уравнение Дирака имеет вид:

• (i γ^μσ_μ — m)φ(x) = 0. (10)

Для того чтобы показать, что это уравнение лоренц-инвариантно, реализуем лоренцевское преобразование на его левую часть (рис.4).

Реализуем воздействия в левой части уравнения оператором (-iγ^μσ_μ — m), чтобы увидеть, что уравнение Дирака происходит из уравнения Клейна-Гордона:

• 0 = (-iγ^μσ_ν — m)(-iγ^νσ_ν — m) φ = (γ^μγ^νσ_μσ_ν + m²)φ = (1/2{γ^μ, γ^ν} σ_μσ_ν + m²)φ = (σ² + m²)φ

Для записи лагранжиана для теории Дирака, нужно как минимум установить два дираковский спинора для определения лоренцевского скаляра. Однако предположение φ^†φ — не подходит. Если бы матрица буста была бы унитарна при лоренцевском преобразовании φ^†λ^†_1/2λ_1/2φ, то имели бы вид λ^†_1/2 = λ^-1_1/2. однако матрица λ_1/2 неунитарна, потому что генераторы (рис.2) неэрмитовы. Решение заключается в том, чтобы определить:

• φ‾ ≡ φ^†γ⁰. (11)

При бесконечно малом уравнении Лоренца, параметризованном величинами φ_νμ, сумма по по ν и μ имеет 6 разных отличных от нуля слагаемых.

Уравнение Эйлера-Лагранжа для φ‾ (или φ^†) приводит к уравнению Дирака (10).